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Satz Von Vieta Einfaches Beispiel Essay

Mit dem Satz von Vieta können viele quadratische Polynome in Sekunden ohne Taschenrechner im Kopf – ohne pq-Formel oder abc-Formel – gelöst werden. Dies ist der Fall, weil die Koeffizienten in einer besonderen Beziehung zueinander stehen.

Definition

Definition

Seien x1 und x2 zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung a · x²+b · x+c = 0, dann gilt:

Für eine Gleichung in Normalform, daher für eine Gleichung der Art x²+p · x+q = 0, vereinfacht sich dies zu:

Somit stellt der Satz von Vieta einen mathematischen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und dessen beiden Lösungen her.

Neben dem Satz von Vieta ist dessen Erfinder, François Viète, auch dafür bekannt, das er als Erstes durchgehend (mit einigen Ausnahmen) mathematische Symbole wie + und - (vorher wurden diese immer ausgeschrieben) verwendete. Die Schreibweise der Mathematik, wie wir sie heute verwenden, geht in vielen Teilen auf ihn zurück.

Beispiel

Finde die Nullstellen der Gleichung f(x) = x² - 3x - 10

Gemäß dem Satz von Vieta, müssen wir also zwei Zahlen finden

  • deren Summe 3 ( -(-3) = 3 ) ist
  • deren Produkt -10 ist

Da es unendlich viele Zahlenkombinationen gibt, deren Summe 3 ist, ist es einfacher sich zuerst auf das Produkt zu konzentrieren. Hierfür benötigen wir alle Faktoren von -10. Diese sind: ±1, ±2, ±5 und ±10. Alle mögliche Kombinationen wären:

  • -1 · 10
  • -10 · 1
  • -2 · 5
  • -5 · 2

Nun müssen wir die zwei Faktoren finden, deren Summe 3 ist. Es gibt nur zwei, die hierfür infrage kämen: 5 und -2. Die Nullstellen der Gleichung wären somit:

x1 = -2
x2 = 5

Linearfaktorzerlegung

Mit den Lösungen kann man das Polynom auch in seine Linearfaktoren zerlegen. Daher eignet sich der Satz von Vieta auch, um quadratische Polynome zu faktorisieren. Die Gleichung aus unserem Beispiel oben ließe sich in folgende Linearfaktoren zerlegen:

1. Zusammenhang Normalform einer quadratischen Gleichung und deren Lösungen

Liegen bei einer quadratischen Gleichung ihre Lösungen vor, so kann man deren Gleichung in der Normalform ermitteln. Den Lösungsweg hierzu nennt man in Mathe den Satz von Vieta.

Es sind folgende drei quadratische Gleichungen in der Normalform gegeben und deren Lösungen.

a)    x² – 9x + 18 = 0            L = {3; 6}

b)    x² + 3x – 10 = 0            L = {– 5; 2}

c)   x² – 8x + 16 = 0             L = {4}

Aus den Lösungen der quadratischen Gleichungen und deren Normalform kann man eine Gesetzmäßigkeit erkennen.

 

a)   x² – 9· x + 18 = 0

(3 + 6)(3 · 6)

 

b)   x² – (–3)· x – 10 = 0

(–5 + 2)((–5) · 2)

 

c)   x² – 8· x + 16 = 0

  (4 + 4)(4 · 4)

 

Satz: Es liegt eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform x² + px + q = 0 vor.

Sind x und x Lösungen dieser quadratischen Gleichung, so ergibt sich folgende Gesetzmäßigkeit:

x + x = –p    und   x· x = q.

Hat die quadratische Gleichung hingegen nur eine Lösung, so ergibt sich diese Gesetzmäßigkeit:

2x = –p   und   x² = q.

 

1.1 Beweis des Satzes für zwei Lösungen

1. Fall: Die quadratische Gleichung x² + px + q = 0 weist die Lösungen x und x auf.

Mittels der Diskriminante D =  – q kann die Lösung der quadratischen Gleichung wie folgt bestimmt werden:

x = – +   und   x = – – 

 

Hieraus folgt:

(1)   x + x = (– + ) + (– – )

     = – + –  – 

     = – – 

     = –p

 

(2)   x· x =  (– + · (– – )

    = (–)² – (

    =  – D

    =  – ( – q)

    =  – + q

    = q

 

1.2 Beweis des Satzes für eine Lösung

2. Fall: Die quadratische Gleichung x² + px + q = 0 hat nur die eine Lösung x.

Hat eine quadratische Gleichung nur eine Lösung, so ist deren Diskriminante immer gleich null. Damit die Diskriminante gleich null wird, muss Folgendes gelten:

 – q = 0       |  + q

= q

 

x = – ± 

     = –

 

Hieraus folgt:

(1)   x + x = – + –

     = –p

 

(2)   x· x = (–· (–)

   = 

   = q

Denn es gilt:   = q

 

1.3 Umkehrung des Satzes

Es ist eine quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 gegeben. Gilt für zwei Zahlen x und x dieser Gleichung: x + x = –p   und    x· x = q, so sind x und x Lösungen jener Gleichung.

 

1.31 Beweis des Satzes

Sind x und x Lösungen einer quadratischen Gleichung, so muss gelten:

(x + x) = –p     und     x· x = q.

Anhand der Normalform x² + px + q = 0 kann das nun bewiesen werden. Hierfür ist es zuerst notwendig die Normalform zu verändern, indem p und q durch die obige alternative Schreibweise ersetzt werden.

x² – (x + x)x + x· x = 0.

Um zu zeigen, dass x und x tatsächlich Lösungen sind, führt man jetzt nacheinander für x und für x die Probe durch.

 

Beweis für x: Probe für x

x² – (x + x)x + x· x = 0           (w ?)

x² – (x· x) – (x· x) + x· x = 0

x² – x² – x· x + x· x = 0

0 = 0

Die Probe liefert ein wahres Ergebnis. Damit ist bewiesen, dass x eine Lösung der quadratischen Gleichung ist.

 

Beweis für x: Probe für x

x² – (x + x)x + x· x = 0           (w ?)

x² – (x· x) – (x· x) + x· x = 0

x² – x· x – x² + x· x = 0

0 = 0

Die Probe ergibt ein wahres Ergebnis. Hiermit ist bewiesen, dass x eine Lösung der quadratischen Gleichung ist.

 

2. Der Satz und der Kehrsatz: Satz von Vieta

Es ist eine quadratische Gleichung in der Normalform x² + pq + q = 0 gegeben. Es sind x und x immer dann Lösungen dieser Gleichung, wenn hierbei gilt: x + x = –p   und   x· x = q.

Diese Gesetzmäßigkeit bei quadratischen Gleichungen nennt man den Satz von Vieta.

 

Beispiele:

1. Mithilfe des Satzes von Vieta soll für diese allgemeine quadratische Gleichung: x² + px + q = 0 eine quadratische Gleichung ermittelt werden, deren Lösungsmenge ist:

a)   {4; 7}

–p = x + x

–p = 4 + 7

–p = 11

q =  x· x

q = 4 · 7

q = 28

Die quadratische Gleichung ist: x² – 11x + 28 = 0

 

b)   {5; –4}

–p = x + x

–p = 5 + (–4)

–p = 1

q =  x· x

q = 5 · (–4)

q = –20

Die quadratische Gleichung ist:  x² – x – 20 = 0.

 

c)   {–2}

–p = x + x

–p = –2 + (–2)

–p = –4

q =  x· x

q = (–2) · (–2)

q = 4

Die quadratische Gleichung ist: x² + 4x + 4 = 0.